Le coin des révisions - Mathématiques

Fiche n° 1 - Décomposition en nombres premiers :

On utilise la décomposition en nombres premiers pour simplifier une expression mathématique, par exemple une fraction ou une racine.

Un nombre premier ne peut se diviser exactement que par 1 et par lui-même.

Nombres premiers les plus utilisés : 1 ;2 ;3 ;5 ;7 ;11 ;13 ;17 ;19.

Pour faire une décomposition, on procède par divisions successives par tous les nombres premiers en commençant par les plus petits :

198	2
99	3
33	3
11	11
1

198 = 2 x 3² x 11

Fiche n° 2 - Divisibilité :

a- Un nombre est divisible par 2 si le chiffre des unités est pair, soit : 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8.

Exemple : 238 est divisible par 2 car 8 est pair.

459 n’est pas divisible par 2 car 9 est impair.

b- Un nombre est divisible par 3 si la somme répétée de tous ses chiffres est un multiple de 3 (3 ; 6 ou 9).

Exemple : 15324 est divisible par 3 car 1+5 +3 +2 +4 = 15    1+ 5 =6
896 n’est pas divisible par 3 car 8+ 9 +6 = 23     2+3 = 5

c- Un nombre est divisible par 5 si le chiffre des unités est 0 ou 5

Exemple : 325 est divisible par 5

41 ne l’est pas

d- Pour savoir si un nombre est divisible par 7, on prend le nombre sans le chiffre des unités et on retranche deux fois ce chiffre. Si le chiffre obtenu est un multiple de 7, le nombre du départ est divisible par 7.

Exemple : 406   on prend 40 auquel on retranche (2x6); 40-12=28 qui est un multiple de 7,(7x4=28), donc 406 est divisible par 7

4364 ne l’est pas:  436-(2x4)=428; 42-(2x8)=26 qui n'est pas un multiple de 7, donc 4364 n'est pas divisible par 7

e- Un nombre est divisible par 9 si la somme des chiffres de ce nombre est un multiple de 9

        Exemple : 540 est divisible par 9, car 5+4+0=9

           65 ne l’est pas, car 6+5=11; 1+1=2 qui n'est pas un multiple de 9

f- Un nombre est divisible par 11 si la somme des chiffres de rang impair moins la somme des chiffres de rang pair est égale à un multiple de 11 (0;11;22...)

        Exemple : 6490 est divisible par 11;  (6+9)-(4+0)=15-4=11 multiple de 11

          5675 ne l’est pas; (5+7)-(6+5)=12-11=1 qui n'est pas un multiple de 11

  

Fiche n° 3 - Plus Petit Commun Multiple (PPCM) :

On utilise le PPCM pour la simplification d’expressions mathématiques ou le calcul sur les fractions (recherche du dénominateur commun).

Pour obtenir le PPCM de plusieurs nombres, il faut les décomposer en nombres premiers. Le PPCM est obtenu en effectuant le produit de tous les diviseurs (communs ou non) affectés de leur plus fort exposant.

Exemple : PPCM de 600 et de 175 écrit : PPCM (600 ;175)

600 = 2³ x 3 x 5²

175 = 5² x 7

PPCM = 2³ x 3 x 5² x 7 = 4200

Fiche n° 4 - Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) :

On utilise le PGCD pour la simplification d’expressions mathématiques comme la simplification des fractions.

Pour obtenir le PGCD de plusieurs nombres, il faut les décomposer en nombres premiers. Le PGCD est obtenu en effectuant le produit de tous les diviseurs communs affectés de leur plus petit exposant.

Exemple : PGCD de 1488 et de 360 écrit : PGCD (1488 ;360)

1488 = 2⁴ x 3 x 31

360 = 2³ x 3² x 5

PGCD = 2³ x 3 = 24

Fiche n° 5 - Sommes algébriques :

Pour le calcul d’une somme de plusieurs nombres, l’ordre des termes n’a pas d’importance… Il est conseillé de faire des groupements judicieux qui simplifient les calculs. Par contre, attention à l’ordre des termes d’une différence :

a- On groupe les nombres positifs, puis les négatifs. On ajoute les nombres positifs entre eux ainsi que les nombres négatifs.

Exemple : 120 – 59 ≠ 59 - 120

Exemple : -5 + 1 – 4 – 2 + 6 + 2 + 8 = (1 + 6 + 2 + 8) - (5 + 4 + 2)

= 17 – 11 = 6

b- Un signe + devant une parenthèse ou un crochet ne change pas les signes des nombres dans la parenthèse ou le crochet.

 Il y a changement de signes si la parenthèse ou le crochet sont précédés d’un signe –.

Exemple : -(5 –1 - 3) + (8 + 4-2) = -5 + 1 + 3 + 8 + 4 - 2

= (1 + 3 + 8 + 4) - (5 + 2)

 = 16 - 7 = 9

          Exemple : 4 - [2 – (1 – 3)] + [–(–6)] = 4 - [2– 1 + 3] + [6]

           = 4 – 2 + 1 - 3 + 6   

           = (4 + 1 + 6) - (2 + 3)                                                                                                                                                                                   

= 11 – 5 = 6

Fiche n° 6 - Priorité des opérations :

La multiplication ou la division doivent être exécutées en priorité par rapport à l’addition ou la soustraction. On les regroupe donc sous des parenthèses, ou des crochets s’il y a parenthèses multiples.

La fonction puissance est prioritaire sur la multiplication ou la division .

Exemple : 9 ÷ 3 + 2 x 4 x 1 ÷ 2 – 5 = (9 ÷ 3) + (2 x 4 x 1 ÷ 2) - 5

= 3 + 4 –5 = 2

Exemple : 5 - 2² x 6 ÷ 2 + 3² = 5 - (2² x 6 ÷ 2) + 9

= 5 – 12 + 9 = 2

Fiche n° 7 - Puissances d’un nombre :

a- Soit a un nombre non nul et n un entier positif

a⁰ = 1       a¹ = a    aⁿ= a x… x a    n fois

Soient a et b des nombres non nuls, m et n des entiers relatifs.

Entre des lettres représentant des nombres, le signe x de la multiplication peut être remplacé par un point ou même disparaître.

Exemple : a x b = a . b = ab

a^m x aⁿ = a^m+n             

(ab)ⁿ = aⁿ x bⁿ      (a^m)ⁿ = a^m.n = a^mn

b- Règle des signes :

Un nombre positif élevé à une puissance quelconque reste positif.

Exemples : (+4)² = 4²          (+3)⁵= 3⁵         (+5)^-2 =

Un nombre négatif élevé à une puissance paire devient positif ; élevé à une puissance impaire, il reste négatif.

Exemples : (-8)² = 8²        (-5)³ = -5³

Fiche n° 8 - Puissances de 10 :

Soit n un entier naturel

10ⁿ= 10…0 n zéro        10^-n= = 0,0…01   n chiffres après la virgule

Soient n et m des entiers relatifs

10ⁿ x 10^m = 10^n+m         (10^m)ⁿ= 10^m.n = 10^mn

a x 10ⁿ  : on déplace la virgule de n rangs vers la droite

Exemple : 61,37 x 10³ = 61370

a x 10^-n : on déplace la virgule de n rangs vers la gauche

Exemple : 129,37 x 10^-2 = 1,2937